La marée, est due à l'attraction de la lune pour l'essentiel des effets statiques. Elle peut être renforcée par l'attraction du soleil si : terre, lune et soleil sont à peu près alignés dans l'espace (vive eau) ; et diminuée quand le soleil se trouve dans une direction perpendiculaire (morte eau)

Mais il faut savoir que l'équilibre statique qui résulte des attractions "lune, soleil", est grandement perturbé par d'autres effets qui seront évoqués paragraphe 4.

Pour simplifier on va donc ne considérer : d'une part, que les effets statiques et, d'autre part supposer que la lune est à la verticale de l'équateur.

En réalité, la déclinaison lunaire prend des valeurs comprises entre : "environ" + ou - 25 degrés. (Les astronomes peuvent préciser éventuellement) Les calculs tenant compte de la déclinaison sont  plus compliqués...


Il est rappelé que  la force d'attraction  F exercée par une masse  M  est  : G étant la constante de gravitation et  R  la distance du centre de gravité de  M  au point où s'exerce la force :

                                               F = GM/R^2  (norme du vecteur correspondant)

(Cette force  F s'applique à une masse <m> unitaire, soit 1 Kg)

Ceci posé, on peut se représenter le système ainsi :

La Terre, par un cercle (section plane) de centre  O et rayon r, la lune par un point  L situé à la distance  R  du pt O.

Par le pt. L on peut mener 2 tangentes au cercle (O,r). Considérons celle qui passe au Nord... et appelons C le pt ou cette tang. touche le cercle... (Très proche du pôle)

L'intersection du cercle avec la droite (OL) définit 2 pts :  A (coté lune) & B (coté opposé)

A et B se trouvent sur l'équateur et C tout près du pôle ou, si l'on considère une section par le plan équatorial, tout près d'un point de l'équateur, à 90° de longitude par rapport aux pts A ou B.

(Le lecteur peut faire une figure pour faciliter la compréhension, l'une ou l'autre des sections planes de la terre sont identiques pour le raisonnement.)

Les forces en jeux sont : F_a en A dirigée vers L ; F_b en B dirigée vers  L ; F_o en O dirigée vers L et, F_c en C dirigée vers L mais selon la direction CL.

Les forces qui engendrent la marée sont désignées aux pts A, B, C ;  par : f_a, f_b et f_c.

Elles sont la différence entre les forces d'attractions F_(A,B,C)  et l'attraction moyenne F_o.

f_a = F_a - F_o ; f_b = F_b - F_o.-

Les lecteurs qui ne sont pas familiarisés avec la notion de grandeurs orientées devront admettre les résultats suivants qui viennent du calcul ; lequel sera développé paragraphe 3.

Ce calcul  montre que f_a , a la direction de OL et f_b, la direction opposée.

Pour définir f_c, il faut décomposer F_c en deux composantes selon les directions perpendiculaires (Ox) ; (Oy) (ligne d'équateur et ligne des pôles) désignées par F_cx  &  F_cy.

La composante en x, tang. à la surface en C n'a pas d'effet notable. Seule la composante en y perpendiculaire à la surface intervient. L'interprétation physique du calcul montre que f_c,  peu différente de F_cy,  est dirigée vers O centre de la terre.

Ceci peut donc se représenter le système à l'aide d'un cercle (O,r) (section plane de la sphère Terre) et de 2 axes Ox & Oy perpendiculaires. On y place les pts A,B, et C, D ; intersection du cercle avec les axes.

 Puis :

On trace : en A un vecteur f_a qui pointe vers L (Lune) ; en B un vecteur f_b qui pointe dans le sens opposé à L ; en C un vecteur f_c et en D un vecteur f_d, qui pointent vers le centre de la terre O.

Tels que : norme de f_a = norme de f_b et norme de f_c = norme de f_d  < que norme de f_a  (ou f_b )

f_a et f_b créent un bourrelet d'eau en A et B. Du fait de la rotation de la Terre, il se produit donc 2 marées par jour. (Dites marées semi-diurnes)

 En réalité, du fait de la rotation de la Lune autour de la terre en 29,5 jours, la période des marées est d'environ 12 h 25 mn.

On rappelle que : G est la constante de gravitation.

On pose : M, masse de la Lune ;  R, distance du centre de la Lune au centre de la Terre ; r, rayon
de la Terre.

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Nota : dans la suite du calcul les termes de puissance 2, très petits,  (r/R)^2 seront négligés ;

* signifie "multiplié" pour éviter des confusions avec x ;

app= signifie à peu près égal à.

Les calculs intermédiaires ne sont pas développés afin de ne pas alourdir la présentation...
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Les forces s'appliquent à la masse unité de 1 kg.  On a :
 

F_o = GM/R^2

F_a = -GM/( R - r)^2 = ... -GM/R^2 * 1/ (1 - r/R)^2           app= -GM/R^2 * (1 + 2r/R)

F_b = -GM/( R + r)^2  = ...                     ...                       app= -GM/R^2 * (1 - 2r/R)

F_c = -GM/(R + r)^2  = ...                      ...                       app= -GM/R^2

.............................................. / d'où :
 

f_a = F_a - F_o = -GM/R^2 * (1 + 2r/R) -  (-GM/R^2)  = ... = - 2GMr/R^3

f_b = F_b - F_o = -GM/R^2 * (1 - 2r/R) -  (-GM/R^2)  = ... = + 2GMr/R^3

On désigne par u, l'angle que font entre elles les demi droites LB et LC.

 F_cy = -F^c sin u = - GM/R^2 * r/(r^2 + R^2)^1/2   app= - GMr/R^3

La composante verticale de F_o est nulle. Le pt C est très proche "du pôle".

Donc : f_c app= F_cy =  - GMr/R^3

Ces forces différentielles f_(a,b,c,d) sont très petites, mais suffisantes pour engendrer les marées.

(L'application numérique donne : f_a = f_b = 1.1*10_-6 N/kg. ...)

Le travail des forces aux pts A,B,et C,D, effectué contre l'attraction terrestre, sera pour une unité de masse de 1 kg  :

          W_a,b  = 2GMR^3* Somme de 0 à r de rdr = GMr^2/R^3        et

          W_c,d  = -GM/R^3 =                ...               =-GMr^2/2R^3

En A et B  le niveau monte, en C et D  il descend ; afin que le travail des forces de gravitation soit égal à celui des forces de marées.

On a donc :  GMr^2/R^3 = gh_a = gh_b   et    -GMr^2/2R^3 = gh_c = gh_d  ( g étant la force de gravité et h la hauteur...)

La différence de niveau entre A et C est donc : h  =  h_a,b - h_c,d  =  3GMr^2/2gR^3

(L'application numérique donne : h app= 0,55m. ...) Cette hauteur, de marée lunaire, n'est valable que pour la haute mer à l'équateur.

 Elle diminue avec la latitude... A la latitude géographique q, h  devient : h cos² q

Tout ce qui précède ne vise qu'à donner une explication statique et simplifiée du phénomène.

Il n'est pas tenu compte :

• De la déclinaison de l'orbite lunaire...
• Du supplément de forces dues au soleil (ainsi qu'à l'univers tout entier) qui accroît, au maximum, de 45% les effets lunaires, ce qui est loin d'être négligeable.
• Des résonances entre : le déplacement des masses d'eau et les forces génératrices.
• Des effets dynamiques très importants du fait des masses énormes de liquide mises en jeu !
• De la force de Coriolis, qui perturbe le mouvement est ouest de la marée, laquelle s'en trouve renforcée ou diminuée...
• De la configuration des fonds et des côtes. Par exemple le rétrécissement de la Manche et la nature des fonds entraînent des hauteur de marée au Mont Saint Michel atteignant plus de 15 mètres. L'usine marée motrice de la Rance utilise cette particularité...
  On notera également que le sol terrestre subit aussi des déformation pouvant atteindre la dizaine de cm.
  Visitant récemment la "Cité de l'Espace" à Toulouse , j'y ai vu une plaque scellée dans le sol, indiquant qu'à cet endroit, le niveau du sol montait au moment des grandes marées de 40 cm. , mesurés par un satellite dont je ne me souviens pas du nom. ( Je leur laisse la responsabilité de la mesure...)

Cette présentation simplifiée des marées sur la Terre ne vise qu'à donner au lecteur une idée générale sur les causes du phénomène.
Lequel est présent partout où existent des force de gravité, i.e. où des masses sont en interaction.

Il explique : le ralentissement de la rotation de la Terre et pourquoi la Lune présente  toujours la même face par rapport à la Terre...

Ces forces peuvent atteindre des valeurs colossales. Jusqu' à "déchirer" une étoile au voisinage d'un trou noir !