Énoncé : Même dans des conditions expérimentales strictement
identiques, en négligeant les erreurs expérimentales et l'action du
dispositif de mesure sur l'objet mesuré, le résultat d'une mesure en
mécanique quantique n'est pas en général certain. Les mesures se
regroupent autour d'une valeur moyenne, avec un écart-type plus ou
moins important.
Or, ces écarts-types pour certaines mesures sont reliés entre eux par
des inégalités, dites d'Heisenberg (un des co-découvreurs de la
mécanique quantique). Les plus connues sont :
Delta_px . Delta_x >= hbar
Delta_E . Delta_t >= hbar
px est l'impulsion de la particule selon la coordonnée x (idem avec y
ou z), t est le temps, E est l'énergie. Delta_ est l'écart-type. Les
grandeurs ainsi reliées sont dites duales. hbar est la constante de
Planck (6.62.10^-34 J.s) divisée par 2pi.
Qu'on traduit souvent en vulgarisation par : on ne peut connaître
simultanément E et t (ou p et x. Désormais, on se contentera de citer
une inégalité à la fois, charge au lecteur de généraliser [*] ) pour
un "événement" quantique (comme une désintégration de noyau, par
exemple).
Piège : Ces inégalités ne sont en aucun cas dues à des imprécisions de
mesures ! La borne inférieure (hbar) ne peut pas être repoussée sans
que l'édifice de la mécanique quantique ne s'écroule. Elles sont
inhérentes à la nature ondulatoire du monde quantique.
En résumé : si la nature vous donne de mauvaises réponses, c'est parce
que vous lui posez de mauvaises questions.
Théorie : Il y a deux moyens de montrer Heisenberg : l'un passe par la
nature ondulatoire des particules, l'autre (qui est une formalisation
plus poussée du précédent) passe par la notion d'opérateurs.
Démo "ondulatoire" : On part de E=h.nu . Ce qui veut dire qu'un
phénomène d'énergie bien déterminée a une fréquence bien déterminée,
i.e. que son évolution temporelle est de la forme
exp(2*i*pi*nu*t)=exp(i*E*t/hbar).
A partir de là, on peut voir que ce phénomène, périodique, n'est pas
localisé dans le temps : on est dans le cas où E est connu avec une
précision extrême, et donc la valeur de t où la fonction est "plus
grande" est infiniment flou.
Le cas réciproque correspond à f(t)=delta(t-t_0) où delta est la
fonction pic de Dirac (i.e. "infinie" en 0, nulle ailleurs, et
d'intégrale 1). Pour associer une énergie à une telle évolution, on
utilise une propriété fondamentale de la MQ qui est la linéarité : le
delta peut se reconstruire en tant que somme d'un certain nombre de
fonctions exp(i*E*t/h) avec E "libre". Il se trouve qu'il faut
"sommer" ces fonctions sur toutes les valeurs de E pour reconstituer
le pic initial, donc, on ne peut associer d'énergie bien précise à un
évènement bien situé dans le temps.
Ce sont les deux cas extrêmes. Les cas physiquement réalistes sont
entre les deux, fonctions quelconques de t pouvant être vus comme
superpositions de divers exp(i*E*t/h). Les résultats mathématiques de
décomposition spectrale (c'est le même genre de problèmes en
acoustique) garantissent l'inégalité d'Heisenberg.
Démonstration algébrique :
Ici, le lecteur aura besoin d'être familier des notations de base de
la MQ, et surtout de l'algèbre linéaire.
Un état quantique, par principe de linéarité, est représentable par un
vecteur noté |f>, élément d'un espace vectoriel dit de Hilbert, muni
d'un produit scalaire noté <g|f> où la partie <g| peut être vue comme
un élément du dual. Comme de coutume, le produit scalaire représente
"l'affinité" de deux vecteurs entre eux. Une mesure se représente par
l'action d'un opérateur linéaire, par exemple l'impulsion P. cet
opérateur est tel que les états d'impulsion bien définie soient des
vecteurs propres de cet opérateur, et que la valeur propre
correspondante soit cette impulsion.
Soit |p> un état d'impulsion bien définie, alors P|p>=p|p> où p est
l'impulsion et |p> un état d'impulsion p.
Les vecteurs de la MQ sont normés, on a donc : <p|p>=1, et <p|P|p>=p,
en conséquence. Pour des fonctions |f> d'impulsion mal définie,
<f|P|f> renvoie la valeur "moyenne" de l'impulsion (pour s'en
convaincre, pensez à projeter |f> sur une base d'états propres).
La dispersion au carré, <p^2>-<p>^2 s'écrit alors :
<f|P^2|f>-<f|P|f>^2
En considérant P'=P-<P>, on peut se ramener à <P'>=0. La dispersion
reste la même.
On procède de meme pour la position (opérateurs X' et X).
Or, [P,X]=i*hbar ([P,X]=PX-XP, commutateur).
En effet, en représentation position, P|f> vaut i*bar d|f>/dx et X|f>
vaut x*|f>
(pour P, penser qu'un état propre de p est une onde plane selon la loi
de de Broglie... et que pour une OP, P|f>= p*|f>)
Or, par inégalité de Schwartz dans l'espace des opérateurs,
<p'^2>*<x'^2> >= |<p'x'>|^2 (remplacer <truc> par <f|TRUC|f>)
et P'X'=(P'X'+X'P')/2 + i*hbar/2
donc, <P'^2>*<X'2> >= hbar^2/4 + <p'x'+x'p'>^2.
Le second terme étant positif, on a:
Delta_p ^2 * Delta_x ^2 >= hbar^2/4, d'où l'inégalité recherchée.
On voit bien ici le rôle crucial joué par la non-nullité du
commutateur [P,X]. En effet, si deux opérateurs ne commutent pas, il
est impossible de les diagonaliser simultanément : aucun état propre
de P n'est état propre de X. Si c'était le cas, on aurait pour au
moins un état une impulsion et une position bien définie, et
Heisenberg serait faux.