Ref. on0001
Date de dernière modification: 01/07/2001
Niveau: élémentaire
Auteur:
lgmdmdlsr (sur
une idée de Christophe Dang Ngoc Chan).
L'effet Doppler: qu'est-ce que c'est ?
1/ De quoi parle-t-on?
L'effet Doppler est un effet relatif aux ondes, quelle que soit leur
nature. Il s'agit du fait que la fréquence observée n'est
pas la même
que la fréquence émise dès que l'observateur et la
source de l'onde
sont en mouvement l'un par rapport à l'autre.
2/ Une explication simple
Pour comprendre ce phénomène, on se place dans un
hors-bord sur l'eau
d'un lac; un enfant, dans un autre bateau, s'amuse à lancer
régulièrement des cailloux dans l'eau, provoquant des
vagues qui
parviennent jusqu'à nous. On observe les vagues quand elles nous
atteignent.
La source des vagues, c'est l'enfant.
Si le bateau de l'enfant et le notre sont immobiles, on peut compter
le nombre de vagues qui atteignent notre hors-bord par seconde: c'est
la fréquence des vagues, que l'on note f_0.
Maintenant, si on va vers l'enfant (en utilisant le moteur...), il est
évident qu'on va compter plus de vagues par seconde que si on
est
immobile: la fréquence f_a que l'on perçoit dans ce cas
est donc supérieure à f_0.
Ce qui est peut-être moins évident, c'est que si l'enfant
se rapproche
de nous, chaque vague émise a moins de distance à
parcourir que la vague
précédente; du coup il y a plus de vagues qui nous
parviennent par
seconde, et la fréquence f_a est aussi dans ce cas
supérieure à f_0.
A l'opposé, si on a tendance à fuir l'enfant ([1]) on va compter moins
de vagues par
seconde; la fréquence f_a est alors inférieure à
f_0.
Il en va de même si l'enfant s'éloigne de nous: chaque
vague a plus de
distance à parcourir que la vague précédente, et
donc met plus de
temps pour nous parvenir; du coup il y a moins de vagues qui nous
parviennent par seconde, et la fréquence f_a est aussi dans ce
cas
inférieure à f_0.
Ce qui est vrai pour les vagues est vrai pour tous les types d'ondes:
Si une source émet une onde de fréquence f_0:
- * si on se rapproche de la source (ou si la source s'approche de
nous)
alors la fréquence qu'on détecte est plus grande que f_0;
- * si on s'éloigne de la source (ou si la source
s'éloigne de ous) alors la fréquence qu'on détecte
est plus petite que f_0.
Ainsi quand une voiture du SAMU ne rapproche de nous le son de la
sirène paraît plus aigu (la fréquence augmente),
alors que quand elle
s'éloigne le son paraît plus grave (la fréquence
diminue).
L'effet Doppler est appelé effet Doppler-Fizeau dans le cas des
ondes
électro-magnétiques ([2]).
3/ Un peu plus de détails ...
3-a/ Calcul de la fréquence perçue en fonction de la
fréquence de la source
Revenons dans le hors-bord. Pour simplifier on se limite à un
mouvement à 1 dimension; on se munit d'un repère d'axe
x'x.
Le référentiel d'étude n'est pas
précisé pour l'instant, on le suppose juste
galiléen, et on le note (R). On se cantonne à la
relativité galiléenne pour les calculs; les vitesses des
objets sont constantes.
De plus, il faut faire attention à ce que la source ne
dépasse pas l'observateur.
L'enfant jette un caillou au temps t_1; sa position est alors x_1.
La vague se propage jusqu'à l'observateur qu'elle atteint au
temps t_a; l'abscisse de l'observateur est alors x_a.
L'enfant se déplace à la vitesse algébrique V_1
(si V_1>0 alors l'enfant va vers l'observateur, et si v_1<0 alors
l'enfant s'en éloigne).
A l'instant t_2 où il jette le deuxième caillou il se
trouve en x_2;
x_2 = x_1 + V1 * (t_2 - t_1)
ou encore:
(eq.1) x_2 - x_1 = V1 * (t_2 - t_1)
La deuxième vague se propage jusqu'à l'observateur
qu'elle atteint au temps t_b.
Mais pendant ce temps là l'observateur s'est
déplacé à la vitesse V_2 (algébrique, car
l'observateur peut lui ausi aller dans un sens ou dans l'autre);
l'abscisse de l'observateur est alors x_b telle que:
x_b = x_a + V_2 * (t_b - t_a)
Ou encore:
(eq.2) x_b - x_a = V_2 * (t_b - t_a)
x_1
x_2
x_a x_b
---|------|-------------------------------------|-----------|-------->
x'
x
Les vagues se propagent à la vitesse v, on a:
(eq.3) x_a = x_1 + v * (t_a - t_1)
(eq.4) x_b = x_2 + v * (t_b - t_2)
Maintenant, on calcule!
(eq.4)-(eq.3):
x_b - x_a = x_2 - x_1 + v *[(t_b - t_a) - (t_2 - t_1)
En remplaçant (x_b - x_a) et (x_2 - x_1) par leur
expression
donnée par (eq.1) et (eq.2), on a:
V_2 * (t_b - t_a)= V_1 * (t_2 - t_1) + v *[(t_b - t_a) - (t_2 - t_1)
V_2 * (t_b - t_a) - v*(t_b - t_a) = V_1 * (t_2 - t_1) - v *(t_2 - t_1)
(V_2 - v) * (t_b - t_a) = (V_1 - v) * (t_2 - t_1)
(v - V_2) * (t_b - t_a) = (v - V_1) * (t_2 - t_1)
Soit finalement (écriture d'équation ASCII):
v - V_1
(eq.5) (t_b - t_a) = --------- (t_2 - t_1)
v - V_2
L'enfant jetant des cailloux à intervalles de temps
réguliers, les
ondes sont périodiques dans le temps, la période
étant le temps entre
deux lancers de cailloux.
La période de l'enfant (la source) est T_0 = t2 - t_1 ;
la période à laquelle les vagues nous parviennent est
T_a = t_b - t_a .
La formule donnée par (eq.5) s'écrit alors:
v - V_1
(eq.6) T_a = --------- T_0
v - V_2
On note f_0 la fréquence à laquelle l'enfant jette ses
cailloux;
on note f_r la fréquence à laquelle les vagues nous
parviennent.
D'après la définition de la fréquence on a alors:
f_0 = 1/T_0 et f_r = 1/T_r.
Donc la formule donnée en (eq.6) donne:
v - V_2
f_a = --------- f_0
v - V_1
V_2
1 - ---
v
soit: (eq.7) f_a = --------- f_0
V_1
1 - ---
v
(on rappelle que V_1 et V_2 sont algébriques)
3-b/ Discussion
La formule donnée en (eq.7) est valable quel que soit le
référentiel (R), pourvu qu'il soit galiléen. Le
référentiel intéressant ici est celui de
l'observateur, dans lequel:
V_1 = V_s la vitesse de la source par rapport à l'observateur;
V_2 = 0
v = c + u avec
- u la vitesse du milieu par rapport à l'observateur;
- c la vitesse de l'onde dans le milieu.
Alors:
1
f_a =
----------- f_0
V_s
1 - -----
c + u
La formule est valable dans le référentiel de
l'observateur, dans lequel on ne fait aucune distinction entre les
affirmations: "la source s'éloigne de l'observateur" et
"l'observateur s'éloigne de la source".
Ainsi on a directement l'effet du mouvement relatif de la source par
rapport à l'observateur.
- Si la source s'éloigne de l'observateur, V_s<0 et f_a
< f_0.
- Si la source s'approche de l'observateur, V_s>0 et f_a >
f_0.
Conclusion:
La fréquence perçue augmente si la distance entre la
source et l'observateur diminue.
La fréquence perçue diminue si la distance entre la
source et l'observateur augmente.
La vitesse de l'onde
dans ce référentiel est c - u;
il va donc y avoir une différence dans le calcul quantitatif de
f_a selon le fait que l'observateur est immobile par rapport au milieu
( soit -u = 0), ou non.
Toutefois, ceci a un effet uniquement sur la vitesse de l'onde, et
n'invalide pas l'effet qualitatif décrit ci-dessus.
Par contre, 1e fait que la vitesse de propagation dépende de la
vitesse relative de l'observateur et du milieu n'est pas
vérifié pour les ondes électromagnétiques,
pour lesquelles on constate que (dans le vide) cette vitesse de
propagation est constante, et égale à c_0 = 299792458
m/s. Ceci vient du fait que l'hypothèse de la relativité
galiléenne utilisé pour le calcul est dans ce cas
inexacte, et que de plus définir un milieu de propagation pour
les ondes électromagnétiques (l' "éther") n'a pas
lieu d'être.
4/ Autour de nous
L'effet Doppler a de nombreuses applications, en particulier:
- La mesure de la vitesse du sang avec des ultra-sons: En
comparant
la fréquence de l'onde émise et la fréquence de
l'onde réfléchie par les globules rouges on en
déduit la vitesse du sang. Cela fait intervenir un double effet
Doppler.
- Même principe pour n'importe quel radar d'ailleurs: mesure
de la vitesse d'une voiture par les gendarmes, d'un avion par une radar
de poursuite, des billes métalliques introduites dans une
tornade pour mesurer sa vitesse de rotation.
NOTES
(1) Il faut que la vitesse
relative entre la source et l'objet soit inférieure à la
vitesse de l'onde, sinon on obtient quelques paradoxes: par exemple si
l'observateur s'éloigne de la source plus vite que l'onde ne le
fait alors on a une onde qui se propage apparemment VERS la source !!!.
De manière générale il se produit des
phénomènes étranges dès que la vitesse d'un
objet dépasse celle des ondes se propageant dans un milieu
donné: effet Cérenkov (dû à une particule se
déplaçant plus vite que la lumière dans
l'atmosphère), le bang du mur du son, ...
(2) Dans le cas de l'effet
Doppler-Fizeau, des effets relativistes interviennent, ce qui le rend
un peu plus complexe que l'effet Doppler classique.